Задачи для 10 класса
Jan. 29th, 2011 01:20 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
matholimp1. Береговая линия пруда состоит из n прямолинейных отрезков. Когда ударил мороз, лёд покрыл часть пруда на расстоянии до 100м от береговой линии. Оказалось, что оставшаяся незамёрзшей часть пруда состоит из трёх несвязанных между собой частей. Найдите наименьшее n, при котором это возможно.
2. На плоскости выбрали n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые из них выделили красным цветом, а все остальные – синим. Затем каждую синюю точку соединили с каждой красной. Оказалось, что провели ровно 2011 отрезков. Найдите n.
3. Вершины правильного многоугольника занумеровали по порядку. Одну из вершин соединили отрезками с 1-й и 2011-й. Оказалось, что угол между этими отрезками равен 30º. Сколько сторон у этого правильного многоугольника?
4. Найдите наименьшее значение суммы нескольких натуральных чисел, сумма попарных произведений которых равна 2011.
5. Найдите все целые n, для которых
.
6. Известно, что 0≤x≤y≤z≤1 , (1─x)(1─y)=2/3 , (1─y)(1─z)=1/3. Найдите наименьшее и наибольшее возможные значения (1─x)(1─z).
2. На плоскости выбрали n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые из них выделили красным цветом, а все остальные – синим. Затем каждую синюю точку соединили с каждой красной. Оказалось, что провели ровно 2011 отрезков. Найдите n.
3. Вершины правильного многоугольника занумеровали по порядку. Одну из вершин соединили отрезками с 1-й и 2011-й. Оказалось, что угол между этими отрезками равен 30º. Сколько сторон у этого правильного многоугольника?
4. Найдите наименьшее значение суммы нескольких натуральных чисел, сумма попарных произведений которых равна 2011.
5. Найдите все целые n, для которых
.6. Известно, что 0≤x≤y≤z≤1 , (1─x)(1─y)=2/3 , (1─y)(1─z)=1/3. Найдите наименьшее и наибольшее возможные значения (1─x)(1─z).
