Сколь произвольно количество граней разных размерностей?

Эту тему я предложил для исследования одному потоку своих студентов ИТМО. Однако она вполне доступна старшеклассникам, равно как и непрофессиональным любителям комбинаторной геометрии.
Вопрос имеет смысл даже для многогранника в трёхмерном пространстве. Обозначим через В число его вершин, Р - рёбер и Г - плоских граней. Ясно, что эти три числа не могут быть совершенно произвольными. Прежде всего, В>3 и Г>3 (а в многомерном случае как число вершин, так и число гиперграней должны быть больше размерности пространства). Так как из каждой вершины выходит не менее трёх рёбер (но каждое ребро имеет два конца), то значение дроби Р/В не может быть меньше полутора. Аналогично, так как граница каждой грани содержит не менее трёх рёбер (но каждое ребро имеет две стороны на поверхности многогранника), то значение дроби Р/Г тоже не может быть меньше полутора. Наконец, в случае выпуклого многогранника эти три числа связывает теорема Эйлера: В-Р+Г=2.
Вопрос: полна ли эта система соотношений? ( Read more... )