Паркеты на поверхности сферы и плоском торе

Среди читателей моего ЖЖ есть немало любителей геометрии и компьютерной графики. Хочу предложить им сюжет, который в качестве учебно-исследовательской работы я дал некоторым своим студентам ИТМО.

Как известно, на плоскости существуют только три правильных паркета: из правильных треугольников, из квадратов и из правильных шестиугольников. Правильность паркета означает сочетание трёх следующих свойств.
1. У изогонального (вершинно-транзитивного) паркета «равноправны» все вершины. Это значит, что для любых двух вершин существует симметрия паркета, совмещающая первую вершину со второй.
2. У изотоксального (рёберно-транзитивного) паркета «равноправны» все рёбра. Это значит, что для любых двух рёбер существует симметрия паркета, совмещающая первое ребро со вторым.
3. У изоэдрического (гране-транзитивного) паркета «равноправны» все грани. Это значит, что для любых двух граней существует симметрия паркета, совмещающая первую грань со второй.
Под симметрией паркета здесь понимается такое перемещение плоскости, при котором весь паркет точно совмещается сам с собой. Легко убедиться, что сочетание всех трёх свойств возможно только для паркета, состоящего из одинаковых правильных многоугольников.

Начните с лёгкой задачи - перечислите все правильные паркеты на поверхности сферы. Подсказка: пусть и в совершенно других терминах, но решение этой задачи фактически содержится в школьных учебниках стереометрии.

Затем попытайтесь перечислить или хотя бы построить примеры паркетов на поверхности сферы, обладающих только какими-то двумя из этих трёх свойств. Или только одним.

Наконец, поставьте все эти же вопросы в случае плоского тора. Не пугайтесь незнакомого названия! Под плоским тором геометры понимают обычный прямоугольник, у которого мысленно "склеены" противоположные стороны. Удобно представлять себе плоский тор в виде прямоугольного экрана, изображение на котором при перемещении за край экрана "возвращается" с противоположной стороны.

Если связать с плоскостью её разбиение на равные прямоугольники и в каждом из них повторить изображение с экрана, то получится узор, напоминающий известные графические работы Мориса Эшера. Задачи о перечислении изогональных, изотоксальных и изоэдрических разбиений плоскости решили Грюнбаум (Grünbaum, Branko) и Шепард (Shephard, G.C.) ещё в конце 1970-х годов. К сожалению, их замечательная книга "Tilings and Patterns" вышла в самый разгар перестройки в СССР, из-за чего осталась без русского перевода.

Принципиальное отличие плоского тора и сферы от плоскости в контексте этой задачи - конечность их площади. Отсюда следует, что паркет обязан состоять из конечного числа фигур. Искривлённость сферы мешает тому, чтобы это число оказалось слишком большим. Так как в случае плоского тора это не так, то при необходимости Вы сами можете ввести ограничение на число фигур.

Пора получать вторую звезду?

С http://for-efel.livejournal.com/428400.html и http://community.livejournal.com/ru_spartak_msk/1765564.html :
""... В данный момент мы находимся на завершающем этапе подготовки строительства стадиона. К счастью, подоспели события, которые позволят нам его успешно завершить и начать работы на первом уровне, - сказал директор департамента строительства «Стадион «Спартак» Андрей Козырев. - Стройка начнётся, как только мы получим разрешение на неё. Мы готовы: проект есть, техника для работы тоже, так что ждём отмашки...""
Домашний матч "Спартак" проведёт на своём стадионе только в 2013г.? Или в 2019?

Знали бы дети Александра Невского, закладывая Мысовое городище,

, что по ним потом японска техника пройдётся, и скажут, будто их тут не было?

Газпромышей поймали ещё на одном вранье. Иногородний товарищ завёл ЖЖ специально для того, чтобы поведать об этом.

С http://stalingrades.livejournal.com/739.html :
""Долго я не хотел заводить страницу на ЖЖ, а теперь просто накипело...
Можно много говорить о профессионализме, этике, Газпроме и деньгах. А можно опускаться до личных оскорблений, но тут кто как воспитан и выучен...
О двух моментах хочу сказать...
В телефонном разговоре с одним из руководителей проекта (по крайней мере, он так себя позиционировал), который был заменен на пришлого варяга в конце лета, мне было сказано:
"У Сорокина были тщательные раскопки, а теперь будут более тщательные". Это, наверное, в адрес тех археологов, включая меня, кто копал с Сорокиным. Типа, Вы ..., а мы вот круче и лучше копаем... (при условии, что Сорокин активно копал 3 года, а вновь пришедшие за 7 месяцев справились...).
И второе! На заседании 21 числа было озвучено, что бомбоубежищами был разрушен культурный слой... Заявление, мягко говоря, не верное.
После сноса бомбубежищ в рассе внутреннего рва Ландскроны были проведены зондажи, которые показали, что объект сохранился, на уровне нижних колов обкладки рва... С.Васильев производил там тахеометрическую съемку под планируемый раскоп. Раскоп в силу изгона нас с Охты не был начат...
Вот такие вот пироги с котятами, их едят, а они мяукают...

Он вообще здоровый человек?

Однажды зимой Берлускони и Валентини (депутат парламента Италии) гостили на даче Путина.
На прогулке в лесу российский премьер убил оленя.
Затем рассёк ему грудную клетку и, вытащив ещё трепетавшее сердце, протянул его Валентини - в знак дружбы.
Итальянец побледнел и потерял сознание.


(С http://varfolomeev.livejournal.com/432843.html - из статьи, посвящённой WikiLeaks, в завтрашнем номере The New Times)

Профессиональные спасатели советуют наклеивать на подошвы обуви пластырь

И даже показывают, как это нужно делать - с http://ankakra.livejournal.com/632032.html :
""В метро крутят социальную рекламу от МЧС: идут, понимаешь, люди по зимним тротурарам города, естественно, скользят, понятно, падают. Доблестное МЧС предупреждает: "На улицах скользко!"
...
Хочется посоветовать МЧС, чтобы они перестали снимать дебильную рекламу, а лучше взяли бы этот самый пластырь и прикрутили им чиновников, ответственных за жилищно-коммунальное хозяйство, к технике, которая это самое хозяйство должна спасать от гололеда.
А потом уже можно и руки оторвать - тем, кто скреативил гениальную рекламу.
А пластырем, если останется, заклеить их креативный рот. Намертво.""

В падении спутников Сергей Иванов вряд ли виноват лично

Но сколько же можно держать гуманитария-КГБшника ответственным за сложнейший технический проект?
Три спутника «ГЛОНАСС-М», запущенных сегодня с Байконура на ракете-носителе «Протон-М», были выведены на нерасчетную орбиту. Из-за серьезной технической ошибки российские спутники упали в океан и были уничтожены.
"Пока специалистам непонятно, как поступить в такой ситуации. Не ясны и причины сбоя", - сказал агентству РИА Новости участник операции по выведению спутников «ГЛОНАСС» на орбиту.

Немного из истории вопроса. ( Read more... )

Это точно не Америка

(Ссылка в коде).

Каков Сибелиус!

Программа концерта Лахтинского-Выборгского оркестра (увы, только что завершившегося в лютеранской церкви Петра и Павла в Выборге).
Да (специально для iseg ), эти ребята - из финского Лахти, а не подпитерской Лахты.
(Подробнее см. http://deugenio.livejournal.com/328640.html ).

Зеркала будут появляться непрерывно

Иван Бегтин на http://itblogs.ru/blogs/begtin/archive/2010/12/05/104499.aspx :
""Ещё одно наблюдение за Wikileaks’ами – это то что DDoS доменов их не закроет. И даже «административный рычаг» сработает очень плохо.
Почему? Проще показать ссылкой – http://savewikileaks.net/another-wikileaks-address/
Там ссылки на 424 зеркала Wikileaks из которых сейчас актуальны 74 – часть других ещё не обновились, часть прикрыли/отключили и так далее.
И вся соль ситуации в том что пока сайт сайт Wikileaks распространяется как «открытые данные» / «открытый код», то эту песню не задушить. Зеркала будут появляться непрерывно,
Я думаю что следующим шагом будет появление инструментов массового клонирования подобного рода материалов, децентрализация и проверка аутентичности и актуальности. Причём это будет, как используя P2P инструменты, так их отражение на Web реальность.
Страшная штука на самом деле. Для борьбы с подобным потребуются какие-то немыслимые ресурсы.""
(По наводке с http://vasily-sergeev.livejournal.com/1928071.html ).