![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Геометрия за линией буйков
Jul. 30th, 2010 10:08 amКого-то из френдленты потянуло на пляже на философствования, а мне милее геометрические этюды. Особенно, вдали от берега, когда нет возможности отобразить возникшую мысль на бумаге, из-за чего приходится удерживать всю конструкцию в голове.
Проплыв между двумя соседними буйками, назовём их А и В, я свернул в сторону дальнего буйка С. Посмотрев через пару минут на отрезок АВ я задумался, в какой момент угол, под которым он виден, окажется максимальным.
Как чаще всего и бывает, первое впечатление оказалось ошибочным. Сначала подумалось, будто этот угол должен расти по мере движения. Опровержение возникло почти мгновенно: в пределе угол стремится к нулевому. Значит, должна быть точка максимума? Как её искать?
Обозначим через Х моё текущее положение. Стандартное рассуждение связывает величину угла АХВ с дугой окружности, опирающейся на отрезок АВ. Центр этой окружности лежит на срединном перпендикуляре к отрезку АВ. Ну и что это даёт?
Радиус этой окружности сначала убывает, а затем растёт. Минимальное значение радиуса достигается, когда центр окружности совпадает с серединой отрезка АВ. В этот момент угол АХВ – прямой.
Вот тут стоп! В треугольнике АХВ уже есть тупой угол АВХ. Значит, прямого угла там быть не может.
Так ведь с самого начала нужно было рассматривать не окружность, а этот треугольник. Как всё сразу становится проще! Тупой угол АВХ не меняется, а величина угла ВАХ монотонно растёт вместе с отрезком ВХ. Значит, оставшийся угол АВХ всё время убывает. Следовательно, его максимум соответствует начальному положению, когда Х совпадает с В.
Если бы я рассказывал это доказательство у доски, то поставил бы здесь точку. Однако я продолжаю плыть и сомневаться. Как же так? Ведь в начальном положении я видел отрезок АВ под нулевым углом.
Ну да! Ошибка в выборе модели: Х – точка, но пловец имеет линейные размеры и направление движения. Я видел отрезок АВ под нулевым углом до того, как повернул с направления АВ на ВС. А поворот произошёл не мгновенно. Вот теперь всё на своих местах: максимум не в самом начальном положении, а после поворота.
Проплыв между двумя соседними буйками, назовём их А и В, я свернул в сторону дальнего буйка С. Посмотрев через пару минут на отрезок АВ я задумался, в какой момент угол, под которым он виден, окажется максимальным.
Как чаще всего и бывает, первое впечатление оказалось ошибочным. Сначала подумалось, будто этот угол должен расти по мере движения. Опровержение возникло почти мгновенно: в пределе угол стремится к нулевому. Значит, должна быть точка максимума? Как её искать?
Обозначим через Х моё текущее положение. Стандартное рассуждение связывает величину угла АХВ с дугой окружности, опирающейся на отрезок АВ. Центр этой окружности лежит на срединном перпендикуляре к отрезку АВ. Ну и что это даёт?
Радиус этой окружности сначала убывает, а затем растёт. Минимальное значение радиуса достигается, когда центр окружности совпадает с серединой отрезка АВ. В этот момент угол АХВ – прямой.
Вот тут стоп! В треугольнике АХВ уже есть тупой угол АВХ. Значит, прямого угла там быть не может.
Так ведь с самого начала нужно было рассматривать не окружность, а этот треугольник. Как всё сразу становится проще! Тупой угол АВХ не меняется, а величина угла ВАХ монотонно растёт вместе с отрезком ВХ. Значит, оставшийся угол АВХ всё время убывает. Следовательно, его максимум соответствует начальному положению, когда Х совпадает с В.
Если бы я рассказывал это доказательство у доски, то поставил бы здесь точку. Однако я продолжаю плыть и сомневаться. Как же так? Ведь в начальном положении я видел отрезок АВ под нулевым углом.
Ну да! Ошибка в выборе модели: Х – точка, но пловец имеет линейные размеры и направление движения. Я видел отрезок АВ под нулевым углом до того, как повернул с направления АВ на ВС. А поворот произошёл не мгновенно. Вот теперь всё на своих местах: максимум не в самом начальном положении, а после поворота.
